\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	
	\section{作用量}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5 \linewidth]{LeastAction}
		\caption{两种轨迹下的$L$与$S$。}
		\label{fig:leastaction}
	\end{figure}
	
	\footnote{本文是任延宇《分析力学》网课的学习笔记。参考：Landau《力学》，Susskind《Classical Mechanics》，刘川《理论力学》}
	我们引入一个重要的概念，\textbf{作用量}。作用量是一段时间内系统Lagrange量关于时间的积分：
	\begin{equation}
		S = \int_{t_0}^{t_1} L \dd t
	\end{equation}
	由于$L$和这段时间内系统的各个广义坐标与广义速度有关，
	\begin{equation}
		L = L [q, q', t]
	\end{equation}
	因此 $S$也和这段时间内 $q$与$q'$ 有关。
	要计算一定时间内系统的作用量，就需要知道系统Lagrange量的形式  $L=L[q,q',t]$
	以及这段时间内系统各个广义坐标$q=q(t)$与广义速度$q'=q'(t)$的具体值。
	总之，\textbf{作用量与系统变化的具体路径有关}。
	
	这么说有点太抽象了，让我们举 图\ref{fig:leastaction} 的例子来说明：假定$(t_0, t_1)$ 这段时间内，一个粒子从一处运动到另一处：
	\begin{itemize}
		\item 我们想象粒子沿图\ref{fig:leastaction}  a 的蓝色轨迹变化。
		这种情况下，他全程的广义坐标与广义速度分别为$q=q(t)$与$q'=q'(t)$，
		对应 Lagrange量$L = L[q, q', t]$以及作用量 $S = \int_{t_0}^{t_1} L \dd t$，
		\item 我们还可以想象，粒子沿另一种轨迹变化，比如图\ref{fig:leastaction}  b的橙色轨迹。
		此时，他的广义坐标与广义速度不再和蓝色轨迹时的相同、而分别偏差了 $\delta q$ 与 $\delta q'$。
		由于广义坐标、广义速度变化了，相应的Lagrange量$L$与作用量$S$也必然发生变化：$\delta L$与$\delta S $。
	\end{itemize}
	只考虑“一个粒子的运动”或许太简单了；不过没关系，
	只需要把粒子的空间坐标$x,y,z$理解为系统的广义坐标$q_1, q_2, q_3,...$，就可以很容易地推广这个结论。
	在分析力学看来，一个粒子和一个系统没有太大区别。
	
	\newpage
	\section{最小作用量原理}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5 \linewidth]{paths}
		\caption{示意图：系统变化的不同路径具有作用量，而“真实”路径使作用量取极值}
		\label{fig:paths}
	\end{figure}
	
	我们还知道分析力学的动力学方程 Euler-Lagrange 方程 （对应牛顿力学的牛顿第二定律）
	\begin{equation}
		\dv{}{t} \pdv{L}{q'} = \pdv{L}{q}
	\end{equation}
	原则上说，只要知道了系统的初始状态以及系统Lagrange量的形式，总能依据 Euler-Lagrange 方程算出系统之后的变化路径，
	因此，\textbf{Euler-Lagrange方程描述了系统变化的可行路径}。
	若我们假设图\ref{fig:leastaction} a 的蓝色路径是符合Euler-Lagrange 方程的路径，
	那么我们将观察到系统的状态只沿蓝色路径变化、而不沿着橙色或其他路径。
	
	这条蓝色路径有什么特别之处吗？换句话说，为什么 Euler-Lagrange 方程具有这样的形式呢？
	这就不得不引入\textbf{最小作用量原理}：
	\begin{center}
		最小作用量原理：\textbf{物理规律使系统的作用量$S$最小}。
	\end{center}	
	事实上，
	\begin{center}
		符合 Euler-Lagrange 方程的路径具有最小的作用量。
	\end{center}
	总之，系统偏好蓝色路径是因为沿着蓝色路径系统的作用量最小。
	如果去计算其他路径下系统的作用量，我们会发现其作用量总大于沿着蓝色路径的作用量 $\delta S > 0$。
	
	最小作用量原理从更深层次的角度，论证了物理规律的“本质”。
	
	\newpage
	
	\section{从最小作用量原理到Lagrange力学}
	既然说最小作用量原理是更本质的规律，那我们应该能从最小作用量原理论证得到Lagrange力学。
	无数前辈已经漂亮地展示了这个推导，例如Landau《力学》以及Susskind《Classical Mechanics》等。
	以下我们简要回顾：
	
	我们假定一段时间内系统的始末状态不变，但是运动轨迹与使系统作用量最小的蓝色轨迹偏差一点，即轻微变动$q,q'$；
	而$q, q'$的变动$\delta q, \delta q'$将导致$S$的变动$\delta S$。
	根据微分知识，此时 $\delta S = 0$。
	\begin{equation}
		S = S_{min} \Rightarrow \delta S = 0
	\end{equation}
	我们还可以将$\delta S$改写为与$\delta q, \delta q'$有关的表达式，
	\begin{equation}
		\delta S = \delta (\int_{t_0}^{t_1} L \dd t)  =  \int_{t_0}^{t_1} (\delta L) \dd t =  \int_{t_0}^{t_1} (\pdv{L}{q} \delta q + \pdv{L}{q'} \delta q' ) \dd t 
	\end{equation}
	进一步地推导，
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\delta S &=  \int_{t_0}^{t_1} (\pdv{L}{q} \delta q + \pdv{L}{q'} \dv{ }{t} \delta q ) \dd t  \\
			&=  \int_{t_0}^{t_1} \left (\pdv{L}{q} \delta q +\dv{}{t} ~(\pdv{L}{q'} \delta q ) -(\dv{}{t} \pdv{L}{q'}) \delta q  \right)  \dd t \qquad \text{凑全微分}  \\
			&= \pdv{L}{q'} \delta q |_{t_0}^{t_1} + \int_{t_0}^{t_1} \left (\pdv{L}{q} -(\dv{}{t} \pdv{L}{q'}) \right) \delta q   \dd t  \\
			& = \int_{t_0}^{t_1} \left (\pdv{L}{q} -(\dv{}{t} \pdv{L}{q'}) \right) \delta q   \dd t  \qquad \text{系统始末状态确定、第一项为$0$} \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	由于$\delta q$是相对任意的，因此想要有 $\delta S = 0$，必然有
	\begin{equation}
		\pdv{L}{q} -\dv{}{t} \pdv{L}{q'}= 0
	\end{equation}
	这就是Euler-Lagrange方程。
	
	\newpage
	
	\section{例子：从最小作用量原理到惯性定律}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5\linewidth]{example}
		\caption{示意图 a.几何空间 b.粒子速度-时间 $v-t$ c.粒子位置-时间$x-t$}
		\label{fig:pic2}
	\end{figure}
	
	我们知道惯性定律：“不受外力作用时，粒子保持静止或者匀速直线运动...”；
	我们将举一个例子从最小作用量原理说明背后的原因。
	我们假设最简单的一维情况，并假设粒子初始时$t=0$位置为$x=0$，末时$t=1$位置为$x=1$。
	
	由于粒子不受外力，因此没有势能项。我们轻松地写下他的Lagrange量：
	\begin{equation}
		L = 1/2 m (q')^2
	\end{equation}
	
	\textbf{1. 符合最小作用量原理的情况}
	
	我们假设粒子的运动符合最小作用量原理，即满足Euler-Lagrange方程（或者说，牛顿运动方程）。
	那么我们将发现，
	\begin{equation}
		\dv{}{t} \pdv{L}{q'} = \pdv{L}{q} \Rightarrow q'' = 0 \Rightarrow q'=1
	\end{equation}
	也就是粒子将匀速直线运动。根据我们的题设，应该有速度 $q'=1$。
	那么，作用量将是
	\begin{equation}
		S = \int_{t=0}^{t=1} L \dd t = \int_{t=0}^{t=1} 1/2m \dd t = 0.5 m
	\end{equation}
	
	\textbf{2. 不符合最小作用量原理的情况}
	
	现在我们假设粒子的运动不符合最小作用量原理，比如说，我们假定粒子\textsl{蛇皮走位}：
	\begin{equation}
		q' = 1 + \sin(2 \pi t)
	\end{equation}
	那么作用量将是
	\begin{equation}
		S = \int_{t=0}^{t=1} L \dd t = \int_{t=0}^{t=1} 1/2m(1 + \sin(2 \pi t))^2 \dd t \approx 0.75 m
	\end{equation}
	
	\textbf{3. 总结}
	
	对比后我们发现，粒子\textsl{蛇皮走位}的作用量将大于粒子匀速直线运动的作用量。
	也就是说，如果这个粒子相信最小作用量原理，那么他应该匀速直线运动。
	
\end{document}

